Das Wachstum der e-Funktion

Das Wachstum der e-Funktion
Die Entwicklung der Bevölkerung in Deutschland läßt sich sehr gut durch eine Exponentialfunktion darstellen. Wir nehmen an, daß der Bevölkerungszuwachs ∆f(t) sowohl proportional zur Zeit ∆t als auch zur tatsächlichen Bevölkerungszahl f(t) ist, also:
∆f(t)=f(t+∆t)-f(t)≈k*f(t)∆t
k stellt den Proportionalitätsfaktor dar: Je größer k ist, umso schneller wächst die Bevölkerung, ist k negativ, so geht sie zurück.
Wir dividieren die Gleichung durch ∆t:
f(t+∆t) – f(t) ≈ k*f(t) ∆t
Auf der linken Seite steht nun der Differentialquotient. Je kleiner∆t ist, desto besser stimmt die Proportionalität von Zuwachs zur Zeitspanne bzw. Bevölkerungszahl. Deshalb gehen wir zum Grenzwert ∆t→0 über und erhalten:
f'(t)=k*f(t)
Die Ableitung der Wachstumsfunktion ist also bis auf den Faktor die Funktion f(t) selbst. Eine Funktion mit dieser Eigenschaft ist uns aber schon bekannt, nämlich:
g(t)=ekt ; Dg=R mit der Ableitung g'(t)=k*ekt=k*g(t)
Jetzt muß nur noch geklärt werden, ob die Funktion g(t) die einzige ist, die unsere Forderungen erfüllt. Nehmen wir einmal an, es gäbe eine weitere differenzierbare Funktion h mit der Eigenschaft h’=k*h. Der Quotient beider Funktionen hat die Ableitung:
h =gh’-hg’=g(kh)-h(kg)=0 g g2 g2
Da die Ableitung des Quotienten gleich Null ist, muß der Quotient selbst eine Konstante sein; nennen wir sie c. Damit ist:
h = c ; h = cg g
Alle möglichen differenzierbaren Wachstumsfunktionen sind also Vielfache von g. Damit ist f(t)=c*ekt ; Df=R
der allgemeine Typ einer differenzierbaren Wachstumsfunktion.
Die Konstante c hat eine ganz besondere Bedeutung: wegen f(0)=c zeigt sie den Bevölkerungszustand zur Zeit t=0 an.

Wenn man die erste Gleichung nach k auflöst, so erhält man:
∆f(t) f(t)*∆t
k≈
anders geschrieben:
k ≈ ∆f(t) : f(t) ∆t
Der Quotient aus Zuwachs ∆f(t) und Zeitspanne ∆t, also ∆f(t) ∆t
aus Zuwachsrate und Bestand f(t) heißt relative Zuwachsrate. Der genaue Wert von k ergibt sich aus der dritten Gleichung als
Die Herleitung für die Formel der Halbwertszeit T:
Da der Anteil an 14C nach der Halbwertszeit nur noch die Hälfte beträgt, gilt
1⁄2c=c*e-λt ;
ln1⁄2 = t -λ
T = ln 2
λ
Aufgabe:
Die Radiokarbon-Methode 12
Kohlenstoff besteht im wesentlichen aus den stabilen Nukliden
und 13C mit einem solchen von 1,11%, sowie dem radioaktiven Nuklid 14C mit einem Anteil von 3*10-8 %. Letzteres hat eine Halbwertzeit von 5730a. Stirbt ein organischer Stoff(Knochen, Bäume etc.), so nimmt der 14C-Anteil unter der Emission von β-Strahlen ständig nach dem Zerfallsgesetz ab. Hochempfindliche Geräte erlauben die Messung auch geringster Mengen von 14C, indem man die Zerfallsakte pro Minute zählt. Auf diese Weise ist es möglich, das Alter von abgestorbenen Pflanzenresten, von Fossilien usw. festzustellen und Fälschungen von Gemälden alter Meister aufzudecken.
a) Welche Zerfallskonstante λ ergibt sich mit der Benutzung der Halbwertzeit 5730a für 14C ?
b) Bei der Freilegung einer vorgeschichtlichen Siedlungsstätte fand man radioaktive Knochen von Haustieren. Der Anteil an 14C in diesen Knochen wurde zu 1,2*10-8% gemessen. Zeige, daß die Siedlung etwa auf das Jahr 5600 v.Chr (Jungsteinzeit) zu datieren ist!
heißt Zuwachsrate; der Quotient f'(t)
k= f(t)
C mit einem Anteil von 98,89%

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